Lecture 18 Flashcards
(14 cards)
Definition Eigenwert und Eigenvektor
Für A ∈ K^{n×n} heißt λ ∈ K Eigenwert, falls es v ≠ 0 mit A·v = λ·v gibt. Ein solches v heißt Eigenvektor zu λ.
Definition Eigenraum
E_λ := { v ∈ K^n | A·v = λ·v }. Er enthält alle Eigenvektoren zu λ sowie den Nullvektor.
Beispiel – Eigenwert 8
A=[[6 2 2]; [2 3 1]; [1 2 4]], v=(2,1,1)^T ⇒ A·v = 8·v → λ=8 ist Eigenwert, v ist Eigenvektor.
Wann ist λ Eigenwert
: λ ist Eigenwert ⇔ det(A−λ·I_n)=0.
Charakteristisches Polynom
χ_A(x) := det(x·I_n − A). Es ist ein normiertes Polynom vom Grad n.
Beispiel – Matrix [[0 1]; [1 0]] Eigenwerte und vektoren
χ_A(x)=x²−1 ⇒ Eigenwerte 1 und −1; zu λ=1 ist (1,1)^T Eigenvektor, zu λ=−1 ist (1,−1)^T Eigenvektor.
Matrix [[0 1]; [−1 0]] über ℝ
χ_A(x)=x²+1 hat keine Nullstellen in ℝ ⇒ keine Eigenwerte über ℝ.
Fundamentalsatz der Algebra (Satz 11.8) – Folge für Eigenwerte
Über einem algebraisch abgeschlossenen Körper (z. B. ℂ) besitzt jede Matrix mindestens einen Eigenwert.
Algebraische vs. geometrische Vielfachheit
ma(λ) = Nullstellen-Vielfachheit von λ in χ_A; mg(λ) = dim(E_λ).
: Beispiel – Jordan-Block [[1 1]; [0 1]]
χ_A(x) = (x−1)² ⇒ ma(1)=2; Eigenraum hat Dimension 1 ⇒ mg(1)=1 (< ma(1)).
was gilt für die 0 bezgl EW un EV
0 darf ein EW sein aber kein EV
Wie berechnet man den EW
die determinante von (x*In - A) berechnen
wie bekommt man die dim für E_λ
(A-λ*In) = 0 den rang berechnen dann n - rg
wie bekommt man einen vektor aus Eλ
Lösungsraum für Eλ aufstellen und dann einfach paar werte einsetzen
