Matemática 19 C Flashcards
(18 cards)
Como determinar a equação da reta na forma y = ax + b utilizando o coeficiente angular a e o coeficiente linear b, considerando as diferentes maneiras de encontrar a?
A aula foca em encontrar a equação da reta na forma y = ax + b, onde a é o coeficiente angular (inclinação) e b é o coeficiente linear. Para determinar a equação, é necessário:
Encontrar a (coeficiente angular) de quatro maneiras:
Dois pontos: Usa a fórmula a = Delta y / Delta x.
Ângulo com o eixo x: a = tan(theta), onde theta é o ângulo formado com o eixo x; se a reta é decrescente, a tangente é negativa.
Retas paralelas: Retas paralelas têm o mesmo a.
Retas perpendiculares: O a de uma reta perpendicular é o inverso com sinal trocado (ex.: se a = 2, o perpendicular é a = -1/2).
Encontrar b: Substitui um ponto conhecido da reta na equação y = ax + b e resolve para b. A abordagem enfatiza simplicidade, utilizando a forma de função do primeiro grau e evitando métodos alternativos mais complexos da geometria analítica.
Para encontrar a equação da reta na forma y = ax + b que passa pelo ponto (1, 2) e tem uma relação específica com outra reta de coeficiente angular a = 2:
Reta paralela:
Retas paralelas têm o mesmo coeficiente angular, logo a = 2.
Substitui o ponto (1, 2) em y = ax + b: 2 = 2(1) + b → b = 0.
Equação: y = 2x.
Reta perpendicular:
O coeficiente angular de uma reta perpendicular é o inverso com sinal trocado, logo a = -1/2.
Substitui o ponto (1, 2) em y = ax + b: 2 = (-1/2)(1) + b → 2 = -1/2 + b → b = 5/2.
Equação: y = (-1/2)x + 5/2. O coeficiente angular a é o número que multiplica x quando y está isolado. A estratégia enfatiza usar o ponto dado e a relação (paralela ou perpendicular) para determinar a e b, resolvendo rapidamente, especialmente em questões de múltipla escolha.
Como determinar as equações das retas suporte da mediana, altura e mediatriz relativas ao lado BC de um triangulo com vertices A(1, 2), B(5, 6) e C(3, 4) na forma y = ax + b?
Resumo:
Em geometria analitica, para encontrar as equações das retas suporte (que contem mediana, altura e mediatriz) relativas ao lado BC de um triangulo com vertices A(1, 2), B(5, 6) e C(3, 4), seguimos:
Mediana relativa a BC:
Definicao: Segmento do vertice A ao ponto medio de BC.
Ponto medio de BC: ( (5+3)/2, (6+4)/2 ) = (4, 5).
Inclinacao da reta A(1, 2) ao ponto medio (4, 5): a = (5-2)/(4-1) = 3/3 = 1.
Usa ponto (1, 2) em y = ax + b: 2 = 1(1) + b -> b = 1.
Equacao: y = x + 1.
Altura relativa a BC:
Definicao: Reta do vertice A perpendicular ao lado BC, formando 90 graus.
Inclinacao de BC: a_BC = (6-4)/(5-3) = 2/2 = 1.
Inclinacao da altura (perpendicular a BC): inverso com sinal trocado, a = -1.
Usa ponto A(1, 2) em y = ax + b: 2 = -1(1) + b -> b = 3.
Equacao: y = -x + 3.
Mediatriz relativa a BC:
Definicao: Reta perpendicular a BC passando pelo seu ponto medio (4, 5).
Inclinacao de BC: a_BC = 1. Inclinacao da mediatriz: a = -1.
Usa ponto medio (4, 5) em y = ax + b: 5 = -1(4) + b -> b = 9.
Equacao: y = -x + 9.
Observacao: As equações diferem, mas neste triangulo (isosceles, verificado pelas distancias AB = AC = raiz de 10), mediana, altura e mediatriz podem coincidir em casos especificos, embora aqui as equações sejam distintas devido às condicoes geometricas.
Como determinar a equação da reta s perpendicular à reta r: y = x + 1, passando pelo ponto P(5, -2), encontrar o ponto de interseção Q entre r e s, calcular a distância PQ e determinar a distância do ponto P à reta r usando a fórmula de distância de ponto a reta?
Dada a reta r: y = x + 1 e o ponto P(5, -2), que não pertence a r (verificado ao substituir x = 5, y = -2 em r, resultando em 6 ≠ -2), resolvemos:
Equação da reta s perpendicular a r, passando por P(5, -2):
Inclinação de r: a = 1 (coeficiente de x em y = x + 1).
Inclinação de s (perpendicular): inverso com sinal trocado, a = -1.
Usa P(5, -2) em y = ax + b: -2 = -1(5) + b → b = 3.
Equação de s: y = -x + 3.
Ponto de interseção Q entre r e s:
Igualar r e s: x + 1 = -x + 3 → 2x = 2 → x = 1.
Substituir x = 1 em r: y = 1 + 1 = 2 (ou em s: y = -1 + 3 = 2).
Ponto Q: (1, 2).
Distância PQ:
Pontos P(5, -2) e Q(1, 2).
Fórmula da distância: sqrt((x2 - x1)^2 + (y2 - y1)^2) = sqrt((1 - 5)^2 + (2 - (-2))^2) = sqrt(16 + 16) = sqrt(32) = 4sqrt(2).
Distância de P(5, -2) à reta r (usando fórmula de distância de ponto a reta):
Escreve r: y = x + 1 como x - y + 1 = 0 (forma ax + by + c = 0).
Fórmula: distância = |ax1 + by1 + c| / sqrt(a^2 + b^2).
Substitui P(5, -2): |1(5) + (-1)(-2) + 1| / sqrt(1^2 + (-1)^2) = |5 + 2 + 1| / sqrt(2) = 8 / sqrt(2) = 4sqrt(2).
Observação:
O ponto Q é a projeção ortogonal de P sobre r, encontrada pela interseção da perpendicular s com r.
A distância PQ é igual à distância de P à reta r, pois a menor distância de um ponto a uma reta é sempre ao longo da perpendicular.
A fórmula de distância de ponto a reta confirma o resultado (4*sqrt(2)), mas para encontrar Q, é necessário resolver o sistema (equação de s e r). Usar apenas a fórmula de distância não determina as coordenadas de Q.
Como calcular a distancia entre duas retas paralelas usando a formula de distancia de um ponto a uma reta, e como isso se aplica a uma circunferencia contida perfeitamente entre essas retas?
Para calcular a distancia entre duas retas paralelas, como x - y + 5 = 0 e outra paralela (nao especificada, mas assumimos uma forma geral para explicacao), usamos a formula de distancia de um ponto a uma reta. O processo e:
Distancia entre retas paralelas:
Escolha um ponto qualquer em uma das retas. Exemplo: para x - y + 5 = 0, tome x = 0 -> y = 5, ponto (0, 5).
Use a formula de distancia de um ponto a uma reta para calcular a distancia desse ponto a outra reta paralela. Formula: distancia = |ax1 + by1 + c| / sqrt(a^2 + b^2), onde o ponto e (x1, y1) e a reta e ax + by + c = 0.
Exemplo com a reta x - y + 5 = 0 e ponto (0, 2) (escolhido arbitrariamente para ilustracao): distancia = |1(0) + (-1)(2) + 5| / sqrt(1^2 + (-1)^2) = |0 - 2 + 5| / sqrt(2) = 3 / sqrt(2) = 3sqrt(2)/2.
A distancia entre retas paralelas e constante, independentemente do ponto escolhido na primeira reta.
Erro comum:
Calcular a distancia entre dois pontos quaisquer (um de cada reta) nao da a distancia entre as retas, a menos que os pontos estejam na perpendicular entre elas, o que exige sorte ou calculo especifico.
Aplicacao em circunferencia:
Se uma circunferencia esta contida perfeitamente entre duas retas paralelas (tocando ambas), o diametro da circunferencia e igual a distancia entre as retas, e o raio e metade dessa distancia.
Exemplo: Se a distancia entre as retas e 3sqrt(2)/2, o raio da circunferencia e 3sqrt(2)/4, e a area e pi * (3sqrt(2)/4)^2 = pi * 92/16 = 9pi/8.
Observacao: A distancia entre retas paralelas e sempre medida ao longo da perpendicular. Escolher um ponto arbitrario em uma reta e aplicar a formula simplifica o calculo, mas a reta deve estar na forma ax + by + c = 0. Em exercicios, verificar se a circunferencia toca ambas as retas pode exigir o calculo do raio ou do centro.
Qual é a equação geral de uma circunferência e quais são os elementos essenciais necessários para determiná-la?
A equação da circunferência é (figura), onde (xc, yc) são as coordenadas do centro e r é o raio. Para encontrar a equação, você precisa saber o centro e o raio, que mudam conforme o problema. A distância entre o centro e qualquer ponto (x, y) na circunferência é igual ao raio, calculada pela fórmula da distância entre dois pontos. Na geometria analítica, o desafio é identificar o centro e o raio com base nas informações do exercício, usando raciocínio para resolver.
A equação da circunferência requer centro e raio. O centro é (1, 2), e a tangência ao eixo Y (x = 0) implica que o raio é a distância horizontal do centro ao eixo, ou seja, 1. Assim, a equação é (x - 1)^2 + (y - 2)^2 = 1. Não expanda a equação a menos que solicitado.
quadrado circunscrito na circunferência; ângulo do quadrado é 90 graus; traça a diagonal; triângulo encontrado é retângulo; logo a diagonal será diâmetro; o centro é o ponto médio (2,3); aplica a equação da circunferência; falta o raio; para o raio, aplicar a fórmula da distância entre dois pontos; escolhe os pontos entre o vértice e o centro
quadrado circunscrito na circunferência; ângulo do quadrado é 90 graus; traça a diagonal; triângulo encontrado é retângulo; logo a diagonal será diâmetro; o centro é o ponto médio (2,3); aplica a equação da circunferência; falta o raio; para o raio, aplicar a fórmula da distância entre dois pontos; escolhe os pontos entre o vértice e o centro; se pedisse a equação da inscrita, o centro seria o mesmo e o raio seria metade do lado, a diagonal é l raiz de 2 por 2
Na equação (x - xc)^2 + (y - yc)^2 = r^2, o centro é (xc, yc) e o raio é √r^2. Por exemplo, em (x - 3)^2 + (y - 3)^2 = 1, o centro é (3, 3) e o raio é 1. Exercícios com circunferências pedem a equação (dado centro e raio) ou o centro e raio (dada a equação).
Como encontrar o centro e o raio de uma circunferência a partir de sua equação desenvolvida?
junte os x; junte os y; joga o número para o outro lado; o n. que multiplica x divide por -2; o msm com y; pega os valores do centro e eleva ao quadrado do outro lado, soma e tira a raiz; se não tiver nada que multiplica x ou y é 0
Como determinar o centro e o raio da circunferência com a equação x² + y² + 4x - 2 = 0?
junte os x; junte os y; joga o número para o outro lado; o n. que multiplica x divide por -2; o msm com y; pega os valores do centro e eleva ao quadrado do outro lado, soma e tira a raiz; se não tiver nada que multiplica x ou y é 0
obs: nesse caso, dividir todo mundo por 2, pq os coeficientes de x ao quadrado e y ao quadrado tem que ser igual a 1; se os números que multiplicam x ao quadrado e y ao quadrado forem diferentes, não será uma circunferência; pode ser elipse ou hipérbole
junte os x; junte os y; joga o número para o outro lado; o n. que multiplica x divide por -2; o msm com y; pega os valores do centro e eleva ao quadrado do outro lado, soma e tira a raiz; se não tiver nada que multiplica x ou y é 0
Como determinar as regiões no plano a partir de inequações de retas, parábolas e circunferências?
se for igual, é o próprio traçado; se for maior é acima, se for menor é abaixo; no círculo, se for maior é fora, se for menor é dentro
a equação de cima é de uma circunferência; a de baixo é uma reta
equação da circunferência:
obs: nesse caso, dividir todo mundo por 2, pq os coeficientes de x ao quadrado e y ao quadrado tem que ser igual a 1; se os números que multiplicam x ao quadrado e y ao quadrado forem diferentes, não será uma circunferência; pode ser elipse ou hipérbole
junte os x; junte os y; joga o número para o outro lado; o n. que multiplica x divide por -2; o msm com y; pega os valores do centro e eleva ao quadrado do outro lado, soma e tira a raiz; se não tiver nada que multiplica x ou y é 0
equação da reta:
substitui o x e encontra o y; jogando -1, y será 1; a reta passa pelo centro
a inequação da circunferência: é menor, será dentro do círculo; a inequação do y é maior, ou seja, acima da reta; como a reta passou pelo centro, a área é metade da área da circunferência
se pedir pra desenha, lembrar que menor na circunferência é a região de dentro; igual é a borda; tem que excluir a borda pontilhada; já para a inequação da reta tem um sinal de igual, a reta fica sem ser pontilhada; a área vai continua a mesma
https://www.youtube.com/watch?v=hHPJwOC7-dY
Pontos Principais do Vídeo
Introdução
- Apresentação: O vídeo é apresentado pelo Professor Caju, que corrige a questão 148 da prova do ENEM 2018 (prova cinza), focada em geometria analítica.
- Objetivo: Resolver a questão de duas formas: uma técnica (mais detalhada) e outra com uma sacada mais rápida (método de tentativa e erro).
- Convite à interação: Incentiva o público a curtir, compartilhar o vídeo e acompanhar até o final.
Análise da Questão
- Contexto: A questão envolve criar um logotipo utilizando um triângulo no plano cartesiano, descrito por um conjunto de pontos com coordenadas naturais (x, y ∈ ℕ).
- Produto cartesiano: Explicação de que os pares ordenados (x, y) pertencem ao conjunto ℕ × ℕ, ou seja, x e y são números naturais (0, 1, 2, …).
- Objetivo da questão: Encontrar a representação algébrica (desigualdades) que define os pontos do triângulo no plano cartesiano.
- Gráfico: O triângulo é delimitado por três restrições no plano cartesiano, visíveis no gráfico fornecido.
Resolução Técnica
1. Restrições no eixo x (azul):
- Os pontos do triângulo têm 0 ≤ x ≤ 10, pois estão entre x = 0 e x = 10, incluindo os extremos (0 e 10).
- Ilustração: Essa restrição sozinha forma uma faixa vertical entre x = 0 e x = 10.
2. Restrições no eixo y (vermelho):
- Os pontos têm 0 ≤ y ≤ 10, já que as coordenadas y variam de 0 a 10, incluindo os extremos.
- Ilustração: Essa restrição forma uma faixa horizontal entre y = 0 e y = 10.
- Interseção das duas restrições: Forma um quadrado, mas ainda não o triângulo desejado.
3. Equação da reta (verde):
- O terceiro lado do triângulo é definido pela reta y = x (bissectriz dos quadrantes ímpares: 1º e 3º).
- Os pontos do triângulo estão abaixo ou na reta, então a restrição é y ≤ x.
- Ilustração: Essa restrição sozinha define uma região abaixo da reta y = x, mas precisa ser combinada com as outras.
4. Conjunto final:
- Combinando as três restrições: 0 ≤ x ≤ 10, 0 ≤ y ≤ 10, y ≤ x.
- Isso define exatamente o triângulo desejado.
Análise das Alternativas
- Alternativa A: Inclui x ≤ y, que é o oposto de y ≤ x. Errada.
- Alternativa B: Contém 0 ≤ x ≤ 10, 0 ≤ y ≤ 10, y ≤ x. Correta, pois representa o triângulo.
- Alternativa C: Apenas 0 ≤ x ≤ 10, 0 ≤ y ≤ 10, formando um quadrado, não o triângulo. Errada.
- Alternativa D: Usa x + y ≤ 10, que não equivale às restrições do triângulo. Errada.
- Alternativa E: Usa x + y ≤ 25, que inclui pontos fora do triângulo. Errada.
- Gabarito: Alternativa B.
Resolução Rápida (Tentativa e Erro)
- Teste 1: Ponto dentro do triângulo (6, 5):
- Substitui (x, y) = (6, 5) nas alternativas:
- A: Falha, pois 6 ≰ 5.
- B: Passa, pois 5 ≥ 0, 5 ≤ 6, 6 ≤ 10.
- C: Passa, pois 6 e 5 estão entre 0 e 10.
- D: Falha, pois 6 + 5 = 11 ≰ 10.
- E: Passa, pois 11 ≤ 25.
- Elimina A e D.
- Teste 2: Ponto fora do triângulo (0, 5):
- Substitui (x, y) = (0, 5):
- B: Falha, pois 5 ≰ 0 (correto, pois o ponto deve falhar).
- C: Passa, pois 0 e 5 estão entre 0 e 10 (errado, elimina C).
- E: Passa, pois 0 + 5 ≤ 25 (errado, elimina E).
- Conclusão: Apenas B passa no teste do ponto interno e falha no externo, sendo a correta.
Conclusão
- Gabarito: Alternativa B.
- Resumo: A resolução técnica usa desigualdades para definir o triângulo, enquanto a resolução rápida testa pontos para eliminar alternativas. Ambas chegam à mesma resposta.
- Fechamento: Reforça o convite para curtir e compartilhar o vídeo, com agradecimento ao público.
Se precisar de mais detalhes ou explicações sobre algum ponto, é só avisar!
