Matemática 20 B Flashcards
(10 cards)
Qual é a fórmula do termo geral de uma progressão aritmética (PA) e como ela ajuda a encontrar o vigésimo termo diretamente?
Uma progressão aritmética (PA) é uma sequência com diferença constante (razão, R) entre termos consecutivos, podendo ser crescente (R > 0), decrescente (R < 0) ou constante (R = 0). O primeiro termo é a₁, e os termos são indexados (a₁, a₂, …). A razão é calculada como a₂ - a₁. O termo geral, aₙ = a₁ + (n - 1) × R, permite encontrar qualquer termo, como o vigésimo, rapidamente. A teoria otimiza a resolução de problemas envolvendo PAs.
Qual é a fórmula da soma dos n primeiros termos de uma PA e como ela permite calcular a média aritmética dos 20 primeiros termos?
A soma dos n primeiros termos de uma PA é Sₙ = (a₁ + aₙ) × n / 2, onde a₁ é o primeiro termo, aₙ o último (calculado por aₙ = a₁ + (n - 1) × R), e n a quantidade de termos. Pares simétricos (ex.: a₂ + aₙ₋₁) têm a mesma soma se seus índices somam n + 1. A média aritmética dos n termos é (a₁ + aₙ) / 2, pois Sₙ / n resulta na média do primeiro e último termos. Essas fórmulas facilitam cálculos rápidos, como a soma ou média dos 20 primeiros termos, em vestibulares.
a) Distância no 10º dia:
Usa-se o termo geral, aₙ = a₁ + (n - 1) × R.
Para n = 10:
a₁₀ = 200 + (10 - 1) × 300 = 200 + 2700 = 2900 metros.
b) Distância total até o 10º dia:
Usa-se a soma dos n primeiros termos, Sₙ = (a₁ + aₙ) × n / 2.
Com a₁ = 200, a₁₀ = 2900, n = 10:
S₁₀ = (200 + 2900) × 10 / 2 = 3100 × 5 = 15.500 metros.
c) Dia em que correu 2000 metros:
Resolve-se aₙ = 2000 na fórmula aₙ = a₁ + (n - 1) × R:
2000 = 200 + (n - 1) × 300
1800 = (n - 1) × 300
n - 1 = 6
n = 7.
Logo, correu 2000 metros no 7º dia.
Uma progressão geométrica (PG) é uma sequência onde cada termo é o anterior multiplicado por uma razão fixa (q). Na sequência 2, -6, 18, -54, a razão é q = -3 (ex.: -6 ÷ 2 = -3). Razão negativa causa alternância de sinais. O termo geral é aₙ = a₁ × q^(n-1). Para o 20º termo, com a₁ = 2, q = -3: a₂₀ = 2 × (-3)^19. A PG é semelhante à PA, mas usa multiplicação constante.
Como usar as fórmulas do termo geral e da soma dos termos de uma progressão geométrica (PG) para determinar:
a) o 20º termo da PG 2, -6, 18, -54, …
b) a soma dos 20 primeiros termos dessa PG
c) a soma infinita de uma PG com primeiro termo a₁ = 2 e razão q = 1/2?
Uma progressão geométrica (PG) é uma sequência onde cada termo é o anterior multiplicado por uma razão fixa (q). Na sequência 2, -6, 18, -54, a razão é q = -3 (-6 ÷ 2 = -3). A PG alterna sinais se q for negativa. As fórmulas de PG são usadas para cálculos diretos, como:
Termo geral: aₙ = a₁ × q^(n-1)
Para a sequência dada (a₁ = 2, q = -3), o 20º termo é:
a₂₀ = 2 × (-3)^(20-1) = 2 × (-3)^19.
Soma finita (n termos): Sₙ = a₁ × (qⁿ - 1) / (q - 1)
Para 20 termos da sequência (a₁ = 2, q = -3, n = 20):
S₂₀ = 2 × ((-3)^20 - 1) / (-3 - 1).
Soma infinita: Só é válida se |q| < 1, com fórmula S∞ = a₁ / (1 - q).
Para a₁ = 2, q = 1/2:
S∞ = 2 / (1 - 1/2) = 2 / (1/2) = 4.
A soma finita é usada para um número definido de termos, enquanto a soma infinita aplica-se a infinitos termos com |q| < 1. Essas fórmulas são amplamente cobradas em provas.
A sequência das distâncias subidas pela lagartixa forma uma progressão geométrica (PG) com primeiro termo 8 metros e razão 1/2.
a) Distância no 10º dia: Usa-se o termo geral para calcular a distância subida no 10º dia, que é 1/64 metros.
b) Soma das distâncias até o 10º dia: A soma finita dos 10 primeiros termos resulta em aproximadamente 15,992 metros.
c) Distância total subida: A soma infinita, válida pois a razão é menor que 1 em módulo, dá 16 metros. Dica: Para PGs infinitas com razão 1/2, a soma é sempre o dobro do primeiro termo.
Essas fórmulas agilizam cálculos, e a dica para razão 1/2 economiza tempo em provas.
redução absoluta: subtração normal
redução simples: porcentagem que diminuiu
